设对任意光滑的有向闭合曲面片S，均有　　(y﹢1)f’(x)dydz﹢(y－y2)f(x)dzdx﹢[zyf’(x)－2zex]dxdy﹦0，其中f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，求f(x)。

admin2019-07-24 38

问题设对任意光滑的有向闭合曲面片S，均有
　　

(y﹢1)f^’(x)dydz﹢(y－y²)f(x)dzdx﹢[zyf^’(x)－2ze^x]dxdy﹦0，其中f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，求f(x)。

选项

答案令P(x，y)﹦(y﹢1)f^’(z)，Q(x，y)﹦(y－y²)f(x)，R(x，y)﹦zyf^’(x)－2ze^x，由于f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，所以P，Q，R在闭区域上具有一阶连续偏导数，故由高斯公式可知 [*](y﹢1)f^’(x)dydz﹢(y－y²)f(x)dzdx﹢[zyf^’(x)－2ze^x]dxdy ﹦±[*][(y﹢1)f^”(x)﹢(1－2y)f(x)﹢yf^’(x)－2e^x]dxdydz﹦0，其中，Ω是由闭合曲面片S所围成的区域，由区域Ω的任意性可知 (y﹢1)f^”(x)﹢(1－2y)f(x)﹢yf^’(x)－2e^x﹦0，即y[f^”(x)f^’(x)－2f(x)]﹢[f^”(x)﹢f(x)－2e^x]﹦0，则有 f^”(x)﹢f^’(x)－2f(x)﹦0，f^”(x)﹢f(x)－2e^x﹦0，求解f^”(x)﹢f^’(x)－2f(x)﹦0得f(x)﹦C₁e^x﹢C₂e^－2x，则该通解同样满足微分方程f^”(x)﹢f(x)－2e^x﹦0，代入后可得C₁﹦1，C₂﹦0，所以f(x)﹦e^x。本题考查高斯公式和齐次微分方程的计算。考生在应用高斯公式前要注意检查高斯公式成立的条件。

解析

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考研数学一

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设对任意光滑的有向闭合曲面片S，均有　　(y﹢1)f’(x)dydz﹢(y－y2)f(x)dzdx﹢[zyf’(x)－2zex]dxdy﹦0，其中f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，求f(x)。

考研数学一

设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1一x2)dx等于()．

设z=f(x，y)=，则f(x，y)在点(0，0)处

求曲线积分I=∫C(x+y)dx+(3x+y)dy+zdz，其中C为闭曲线x=asin2t，y=2acostsint，z=acos2t(0≤t≤π)，C的方向按t从0到π的方向．

设有参数方程0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y＝y(x)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y＝y(x)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y＝y(x)的凹凸性．

若由曲线y=，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．

双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可表示为()．

设η1，η2，…，ηk是向量子空间V的一个规范正交基，α1，α2∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1，γ2．证明：(1)内积(α1，α2)＝(γ1，γ2)．(2)‖αi‖＝‖γi‖，i＝1，2．

设平面区域D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形．今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在曲线y＝χ2与直线)y＝χ所围成的区域D1内的概率．

设随机变量X服从正态分布N(μ，22)，已知3P{X≥1．5}＝2P{X＜1．5}，则P{｜X－1｜≤2}＝_______．

设曲线y=ax2(x≥0，常数a>0)与曲线y=1－x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D。求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；

目前我国有权制定税收法律、法规和部门规章的机构有()。

白细胞减少和粒细胞缺乏的治疗包括

建设项目决策期的管理策划包括()。

根据城市用地分类标准，下列叙述中正确的是()。

进口货物报关单有若干联，请指出下列报关单中属于报关单的基本联。()

采用自营方式建造固定资产的情况下，下列项目中应计入固定资产取得成本的有()。

学生对教师必须服从，学生个性受到压抑。这种观点是()

甲路过河塘时，看到乙落入水中，但是甲不会游泳，所以没有救乙，最后乙溺水身亡。甲的行为()

HehasinfluencedgenerationsofartistsbutJohnBaldessari’sowncelebritycamerelativelylate.Aphysicallyimposing79-year

Theinnervoiceofpeoplewhoappearunconsciouscannowbeheard.Forthefirsttime,researchershavestruckupaconversation

设对任意光滑的有向闭合曲面片S，均有 (y﹢1)f’(x)dydz﹢(y－y2)f(x)dzdx﹢[zyf’(x)－2zex]dxdy﹦0，其中f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，求f(x)。

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设z=f(x，y)=，则f(x，y)在点(0，0)处

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设有参数方程0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y＝y(x)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y＝y(x)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y＝y(x)的凹凸性．

若由曲线y=，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．

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设η1，η2，…，ηk是向量子空间V的一个规范正交基，α1，α2∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1，γ2．证明：(1)内积(α1，α2)＝(γ1，γ2)．(2)‖αi‖＝‖γi‖，i＝1，2．

设平面区域D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形．今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在曲线y＝χ2与直线)y＝χ所围成的区域D1内的概率．

设随机变量X服从正态分布N(μ，22)，已知3P{X≥1．5}＝2P{X＜1．5}，则P{｜X－1｜≤2}＝_______．

设曲线y=ax2(x≥0，常数a>0)与曲线y=1－x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D。求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；

目前我国有权制定税收法律、法规和部门规章的机构有()。

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