设对任意光滑的有向闭合曲面片S,均有   (y﹢1)f’(x)dydz﹢(y-y2)f(x)dzdx﹢[zyf’(x)-2zex]dxdy﹦0,其中f(x)在(-∞,﹢∞)内具有连续的二阶导数,求f(x)。

admin2019-07-24  33

问题 设对任意光滑的有向闭合曲面片S,均有
  (y﹢1)f(x)dydz﹢(y-y2)f(x)dzdx﹢[zyf(x)-2zex]dxdy﹦0,其中f(x)在(-∞,﹢∞)内具有连续的二阶导数,求f(x)。

选项

答案令P(x,y)﹦(y﹢1)f(z),Q(x,y)﹦(y-y2)f(x),R(x,y)﹦zyf(x)-2zex,由于f(x)在(-∞,﹢∞)内具有连续的二阶导数,所以P,Q,R在闭区域上具有一阶连续偏导数,故由高斯公式可知 [*](y﹢1)f(x)dydz﹢(y-y2)f(x)dzdx﹢[zyf(x)-2zex]dxdy ﹦±[*][(y﹢1)f(x)﹢(1-2y)f(x)﹢yf(x)-2ex]dxdydz﹦0, 其中,Ω是由闭合曲面片S所围成的区域,由区域Ω的任意性可知 (y﹢1)f(x)﹢(1-2y)f(x)﹢yf(x)-2ex﹦0, 即y[f(x)f(x)-2f(x)]﹢[f(x)﹢f(x)-2ex]﹦0,则有 f(x)﹢f(x)-2f(x)﹦0,f(x)﹢f(x)-2ex﹦0, 求解f(x)﹢f(x)-2f(x)﹦0得f(x)﹦C1ex﹢C2e-2x,则该通解同样满足微分方程f(x)﹢f(x)-2ex﹦0,代入后可得C1﹦1,C2﹦0,所以f(x)﹦ex。 本题考查高斯公式和齐次微分方程的计算。考生在应用高斯公式前要注意检查高斯公式成立的条件。

解析
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