2. 考研
  3. 设对任意光滑的有向闭合曲面片S，均有 　　(y﹢1)f’(x)dydz﹢(y－y2)f(x)dzdx﹢[zyf’(x)－2zex]dxdy﹦0，其中f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，求f(x)。

设对任意光滑的有向闭合曲面片S，均有 　　(y﹢1)f’(x)dydz﹢(y－y2)f(x)dzdx﹢[zyf’(x)－2zex]dxdy﹦0，其中f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，求f(x)。

admin2019-07-24  45
问题 设对任意光滑的有向闭合曲面片S，均有
　　(y﹢1)f’(x)dydz﹢(y－y2)f(x)dzdx﹢[zyf’(x)－2zex]dxdy﹦0，其中f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，求f(x)。
选项
答案令P(x，y)﹦(y﹢1)f’(z)，Q(x，y)﹦(y－y2)f(x)，R(x，y)﹦zyf’(x)－2zex，由于f(x)在(－∞，﹢∞)内具有连续的二阶导数，所以P，Q，R在闭区域上具有一阶连续偏导数，故由高斯公式可知 [*](y﹢1)f’(x)dydz﹢(y－y2)f(x)dzdx﹢[zyf’(x)－2zex]dxdy ﹦±[*][(y﹢1)f”(x)﹢(1－2y)f(x)﹢yf’(x)－2ex]dxdydz﹦0， 其中，Ω是由闭合曲面片S所围成的区域，由区域Ω的任意性可知 (y﹢1)f”(x)﹢(1－2y)f(x)﹢yf’(x)－2ex﹦0， 即y[f”(x)f’(x)－2f(x)]﹢[f”(x)﹢f(x)－2ex]﹦0，则有 f”(x)﹢f’(x)－2f(x)﹦0，f”(x)﹢f(x)－2ex﹦0， 求解f”(x)﹢f’(x)－2f(x)﹦0得f(x)﹦C1ex﹢C2e－2x，则该通解同样满足微分方程f”(x)﹢f(x)－2ex﹦0，代入后可得C1﹦1，C2﹦0，所以f(x)﹦ex。 本题考查高斯公式和齐次微分方程的计算。考生在应用高斯公式前要注意检查高斯公式成立的条件。
解析
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考研数学一

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