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  3. 证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．

证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．

admin2019-05-08  57
问题 证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．
选项
答案本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分．在∫01(xy)xydy中，视x为常数，令t=xy，dt=xdy，当y从0变到1时，t从0变到x,则 [*] 于是也就是要证明 一∫01ttln tdt=∫01ttdt， 移项后就是要证明 ∫01tt(1+ln t)dt=0． 事实上， tt(1+ln t)dt=etlnt(1+ln t)dt=etlntd(tln t)=d(etlnt)， 故 ∫01tt(1+ln t)dt=etlnt|01=0．
解析
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考研数学三

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