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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(1一,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A; (Ⅲ)求A及(A一E
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(1一,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A; (Ⅲ)求A及(A一E
admin
2019-05-11
57
问题
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
=(1一,2,一1)
T
,α
2
=(0,一1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=A;
(Ⅲ)求A及(A一
E),其中E为三阶单位矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以[*],则由特征值和特征向量的定义知,λ=3是矩阵A的特征值,α=(1,1,1)
T
是对应的特征向量。因此对应λ=3的全部特征向量为kα,其中k为不为零的常数。 又由题设知Aα
1
=0,Aα
2
=0,即Aα
1
=0.α
1
,Aα
2
=0.α
2
,而且α
1
,α
2
线性无关,所以λ=0是矩阵A的二重特征值,α
1
,α
2
是其对应的特征向量。因此对应λ=0的全部特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
,其中k
1
,k
2
为不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵,所以α与α
1
,α
2
正交,所以只需将α
1
,α
2
正交。 取β
1
=α
1
一(一1,2,一1)
T
,由施密特正交法则 β
2
=α
2
一[*]。 再将α,β
1
,β
2
单位化,得 [*] 令Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则Q
-1
=Q
T
,由A是实对称矩阵必可相似对角化,得 Q
T
AQ=[*]。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知Q
T
AQ=[*],所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JIJ4777K
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考研数学三
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