设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(1一，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A； (Ⅲ)求A及(A一E

admin2019-05-11 32

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(1一，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ=A；
(Ⅲ)求A及(A一

E)，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以[*]，则由特征值和特征向量的定义知，λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)^T是对应的特征向量。因此对应λ=3的全部特征向量为kα，其中k为不为零的常数。又由题设知Aα₁=0，Aα₂=0，即Aα₁=0．α₁，Aα₂=0．α₂，而且α₁，α₂线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量。因此对应λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂，其中k₁，k₂为不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，所以只需将α₁，α₂正交。取β₁=α₁一(一1，2，一1)^T，由施密特正交法则 β₂=α₂一[*]。再将α，β₁，β₂单位化，得 [*] 令Q=(η₁，η₂，η₃)，则Q^-1=Q^T，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得 Q^TAQ=[*]。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知Q^TAQ=[*]，所以 [*]

解析

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考研数学三

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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(1一，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A； (Ⅲ)求A及(A一E

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