设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(1一,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A; (Ⅲ)求A及(A一E

admin2019-05-11  25

问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(1一,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
    (Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
    (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A;
    (Ⅲ)求A及(A一E),其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以[*],则由特征值和特征向量的定义知,λ=3是矩阵A的特征值,α=(1,1,1)T是对应的特征向量。因此对应λ=3的全部特征向量为kα,其中k为不为零的常数。 又由题设知Aα1=0,Aα2=0,即Aα1=0.α1,Aα2=0.α2,而且α1,α2线性无关,所以λ=0是矩阵A的二重特征值,α1,α2是其对应的特征向量。因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2,其中k1,k2为不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵,所以α与α1,α2正交,所以只需将α1,α2正交。 取β11一(一1,2,一1)T,由施密特正交法则 β22一[*]。 再将α,β1,β2单位化,得 [*] 令Q=(η1,η2,η3),则Q-1=QT,由A是实对称矩阵必可相似对角化,得 QTAQ=[*]。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知QTAQ=[*],所以 [*]

解析
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