2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(1一，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A； (Ⅲ)求A及(A一E

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(1一，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A； (Ⅲ)求A及(A一E

admin2019-05-11  46
问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(1一，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
    (Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
    (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；
    (Ⅲ)求A及(A一E)，其中E为三阶单位矩阵。
选项
答案(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以[*]，则由特征值和特征向量的定义知，λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。因此对应λ=3的全部特征向量为kα，其中k为不为零的常数。 又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0．α1，Aα2=0．α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量。因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2，其中k1，k2为不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，所以只需将α1，α2正交。 取β1=α1一(一1，2，一1)T，由施密特正交法则 β2=α2一[*]。 再将α，β1，β2单位化，得 [*] 令Q=(η1，η2，η3)，则Q-1=QT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得 QTAQ=[*]。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知QTAQ=[*]，所以 [*]
解析
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考研数学三

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