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设f(x)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对x∈(0,+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3,又f(1)=0,求f(x).
设f(x)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对x∈(0,+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3,又f(1)=0,求f(x).
admin
2020-05-09
76
问题
设f(x)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对
x∈(0,+∞)满足x∫
0
1
f(xt)dt=2∫
0
x
f(t)dt+xf(x)+x
3
,又f(1)=0,求f(x).
选项
答案
令u=xt,则原方程变换为∫
0
x
f(u)du=2∫
0
x
f(t)dt+xf(x)+x
3
两边对x求导得f(x)=2f(x)+f(x)+xfˊ(x)+3x
2
,整理得fˊ(x)+[*]f(x)=-3x.此微分方程的通解为f(x)=[*].由f(1)=0,得C=[*],所以f(x)=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/l284777K
0
考研数学二
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