2. 考研
  3. 设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对x∈(0，+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)．

设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对x∈(0，+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)．

admin2020-05-09  43
问题 设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对x∈(0，+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)．
选项
答案令u=xt，则原方程变换为∫0xf(u)du=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3两边对x求导得f(x)=2f(x)+f(x)+xfˊ(x)+3x2，整理得fˊ(x)+[*]f(x)=－3x．此微分方程的通解为f(x)=[*]．由f(1)=0，得C=[*],所以f(x)=[*].
解析
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考研数学二

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