已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件：(1)aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式；(2)a11≠0．求｜A｜．

admin2016-06-25 47

问题已知n(n≥3)阶实矩阵A=(a_ij)_n×n满足条件：(1)a_ij=A_ij(i，j=1，2，…，n)，其中A_ij是a_ij的代数余子式；(2)a₁₁≠0．求｜A｜．

选项

答案由已知a_ij=A_ij，所以A^*=A^T，且 AA^*一AA^T=｜A｜E．两边取行列式得｜AA^T｜=｜A｜²=｜｜A｜E｜=｜A｜ⁿ．从而｜A｜=1或｜A｜=0．由于a≠0，可知｜A｜=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+…+a_1nA_1n=a₁₁²+a₁₂²+…+a_1n²＞0．于是｜A｜=1．

解析

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考研数学二

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