2. 考研
  3. 设函数f(x)可导且0≤f′(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．

设函数f(x)可导且0≤f′(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．

admin2019-09-27  16
问题 设函数f(x)可导且0≤f′(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．
选项
答案xn+1－xn=f(xn)－f(xn－1)=f′(ξn)(xn－xn－1)，因为f′(x)≥0，所以xn+1－xn与xn－xn－1同号，故{xn}单调． ｜xn｜=｜f(xn－1)｜=｜f(x1)+∫x1xn－1f′(x)dx｜ ≤｜f(x1)｜+｜∫x1xn－1f′(x)dx｜≤｜f(x1)｜+[*]=｜f(x1)｜+πk， 即{xn}有界，于是[*]存在， 根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(x)两边令n→∞，得[*]，原命题得证．
解析
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考研数学一

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