设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,的解.

admin2019-03-21  39

问题 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程;
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,的解.

选项

答案(1)由反函数的求导公式知[*],于是有 [*] 代入原微分方程得y"-y=sinx (2)方程①所对应的齐次方程y"-y=0的通解为 y=C1ex+C2e2. 设方程①的特解为 y*=Acosx+Bsinx. 代入方程①,求得A=0,[*] 从而y"-y=sinx的通解是 y=y+y*=C1ex+C2e2-[*] 由y(0)=0,[*],得C1=1,C2=-1. 故所求初值问题的解为[*]

解析 [分析],关键在于:

然后再代入原方程化简即可.
[评注]  反函数的求导法是一元函数的三个基本微分法之一,二阶线性常系数非齐次微分方程则是微分方程部分的重要内容.本题将两部分内容有机地结合在一起,除了能够考查考生的基本运算能力,还能考查他们综合运用知识的能力.
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