2. 考研
  3. 设函数y＝y(x)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x＝x(y)是y＝y(x)的反函数． (1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，的解．

设函数y＝y(x)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x＝x(y)是y＝y(x)的反函数． (1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，的解．

admin2019-03-21  47
问题 设函数y＝y(x)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x＝x(y)是y＝y(x)的反函数．
(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)满足的微分方程；
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，的解．
选项
答案(1)由反函数的求导公式知[*]，于是有 [*] 代入原微分方程得y"－y＝sinx (2)方程①所对应的齐次方程y"－y＝0的通解为 y＝C1ex＋C2e2． 设方程①的特解为 y*＝Acosx＋Bsinx． 代入方程①，求得A＝0，[*] 从而y"－y＝sinx的通解是 y＝y＋y*＝C1ex＋C2e2－[*] 由y(0)＝0，[*]，得C1＝1，C2＝－1． 故所求初值问题的解为[*]
解析 [分析]，关键在于：

然后再代入原方程化简即可．
[评注]  反函数的求导法是一元函数的三个基本微分法之一，二阶线性常系数非齐次微分方程则是微分方程部分的重要内容．本题将两部分内容有机地结合在一起，除了能够考查考生的基本运算能力，还能考查他们综合运用知识的能力．
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考研数学二

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