2. 考研
  3. 已知函数f（x）满足方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。 （Ⅰ）求f（x）的表达式； （Ⅱ）求曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐点。

已知函数f（x）满足方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。 （Ⅰ）求f（x）的表达式； （Ⅱ）求曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐点。

admin2017-12-29  56
问题 已知函数f（x）满足方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐点。
选项
答案（Ⅰ）齐次微分方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0的特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=一2，因此该齐次微分方程的通解为f（x）=C1ex+C2e—2x。 再由f"（x）+f（x）=2ex得2C1ex一3C2e—2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。 所以f（x）的表达式为f（x）=ex。 （Ⅱ）曲线方程为y=ex2∫0xe—t2dt，则 [*] 令y"=0得x=0。 下面证明x=0是y"=0唯一的解，当x＞0时， 2x＞0，2（1+2x2）ex2∫0xe—t2dt＞0， 可得y"＞0； 当x＜0时， [*] 可得y"＜0。可知z=0是y"=0唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线 y=f（x2）∫0xf（—t2）dt 在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此（0，0）点是曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt唯一的拐点。
解析
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考研数学三

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