设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x．若f’(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2022-07-21 35

问题设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x．若f’(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案设u=e^xcosy，则z=f(u)=f(e^xcosy)，于是 [*] 由条件[*]=(4z+e^xcosy)e^2x，可知f’’(u)=4f(u)+u，这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程．对应齐次方程的通解为： f(u)=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中C₁，C₂为任意常数对应非齐次方程特解可求得为y^*=-[*]u，故非齐次方程通解为 f(u)=C₁e^2u+C₂e^-2u-[*]u 将初始条件f(0)=0，f’(0)=0代入，可得C₁=1/16，C₂=-1/16，所以f(u)的表达式为 [*]

解析

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