设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：

admin2019-11-25 44

问题设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：

选项

答案[*]等价于 [*]f²(x)dx[*]xf(x)dx≥[*]f(x)dx≥[*]xf²(x)dx，等价于[*]f²(x)dx[*]yf(y)dy≥[*]f(x)dx[*]yf²f(y)dy，或者 [*]dx[*]yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy≥0，令I＝[*]dx[*]yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy，根据对称性，I＝[*]dx[*]xf(x)f(y)[f(y)－f(x)]dy， 2I＝[*]dx[*]f(x)f(y)(y－x)[f(x)－f(y)]dy，因为f(x)＞0且单调减少，所以(y－x)[f(x)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以[*]．

解析

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