设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:

admin2019-11-25  34

问题 设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:

选项

答案[*]等价于 [*]f2(x)dx[*]xf(x)dx≥[*]f(x)dx≥[*]xf2(x)dx, 等价于[*]f2(x)dx[*]yf(y)dy≥[*]f(x)dx[*]yf2f(y)dy,或者 [*]dx[*]yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy≥0, 令I=[*]dx[*]yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy, 根据对称性,I=[*]dx[*]xf(x)f(y)[f(y)-f(x)]dy, 2I=[*]dx[*]f(x)f(y)(y-x)[f(x)-f(y)]dy, 因为f(x)>0且单调减少,所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0,于是2I≥0,或I≥0, 所以[*].

解析
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