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设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:
admin
2019-11-25
34
问题
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:
选项
答案
[*]等价于 [*]f
2
(x)dx[*]xf(x)dx≥[*]f(x)dx≥[*]xf
2
(x)dx, 等价于[*]f
2
(x)dx[*]yf(y)dy≥[*]f(x)dx[*]yf
2
f(y)dy,或者 [*]dx[*]yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy≥0, 令I=[*]dx[*]yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy, 根据对称性,I=[*]dx[*]xf(x)f(y)[f(y)-f(x)]dy, 2I=[*]dx[*]f(x)f(y)(y-x)[f(x)-f(y)]dy, 因为f(x)>0且单调减少,所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0,于是2I≥0,或I≥0, 所以[*].
解析
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考研数学三
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