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设三阶方阵A满足Aα1=0,Aα2=2α1+α2,Aα3=-α1+3α2-α3,其中α1=[1,1,0]T,α2=[0,1,1]T,α3=[-1,0,1]T. (1)求A; (2)求对角矩阵A,使得A~A.
设三阶方阵A满足Aα1=0,Aα2=2α1+α2,Aα3=-α1+3α2-α3,其中α1=[1,1,0]T,α2=[0,1,1]T,α3=[-1,0,1]T. (1)求A; (2)求对角矩阵A,使得A~A.
admin
2018-09-20
23
问题
设三阶方阵A满足Aα
1
=0,Aα
2
=2α
1
+α
2
,Aα
3
=-α
1
+3α
2
-α
3
,其中α
1
=[1,1,0]
T
,α
2
=[0,1,1]
T
,α
3
=[-1,0,1]
T
.
(1)求A;
(2)求对角矩阵A,使得A~A.
选项
答案
(1)合并α
1
,α
2
,α
3
成矩阵,并由题设条件得 A[α
1
,α
2
,α
3
]=[0,2α
1
+α
2
,一α
1
+3α
2
一α
3
] =[α
1
,α
2
,α
3
][*] 由|α
1
,α
2
,α
3
|=[*]=2≠0,知[α
1
,α
2
,α
3
]可逆,且 [*] (2)由(1)知 A[α
1
,α
2
,α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
][*] 故[α
1
,α
2
,α
3
]
-1
A[α
1
,α
2
,α
3
]=[*] 又|λE一B|=[*]=λ(λ一1)(λ+1),故B有三个不同的特征值λ
1
=0,λ
2
=1,λ
3
=一1.故B~Λ=[*].由相似矩阵的传递性,得A~B~Λ,即A~Λ=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SkW4777K
0
考研数学三
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