设三阶方阵A满足Aα1=0,Aα2=2α1+α2,Aα3=-α1+3α2-α3,其中α1=[1,1,0]T,α2=[0,1,1]T,α3=[-1,0,1]T. (1)求A; (2)求对角矩阵A,使得A~A.

admin2018-09-20  22

问题 设三阶方阵A满足Aα1=0,Aα2=2α12,Aα3=-α1+3α23,其中α1=[1,1,0]T,α2=[0,1,1]T,α3=[-1,0,1]T
    (1)求A;
    (2)求对角矩阵A,使得A~A.

选项

答案(1)合并α1,α2,α3成矩阵,并由题设条件得 A[α1,α2,α3]=[0,2α12,一α1+3α2一α3] =[α1,α2,α3][*] 由|α1,α2,α3|=[*]=2≠0,知[α1,α2,α3]可逆,且 [*] (2)由(1)知 A[α1,α2,α3]=[α1,α2,α3][*] 故[α1,α2,α3]-1A[α1,α2,α3]=[*] 又|λE一B|=[*]=λ(λ一1)(λ+1),故B有三个不同的特征值λ1=0,λ2=1,λ3=一1.故B~Λ=[*].由相似矩阵的传递性,得A~B~Λ,即A~Λ=[*]

解析
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