求y"一y=e|x|的通解．

admin2016-06-25 64

问题求y"一y=e^|x|的通解．

选项

答案自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y"=y+e^|x|在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为 y"一y=e^x，求得通解 y=C₁e^x+C₂e^一x+[*]xe^x．当x＜0时，方程为 y"一y=e^一x，求得通解 y=C₃e^x+C₄e^一x一[*]xe^一x．因为原方程的解y(x)在x=0处连续且y’(x)也连续，据此，有 [*] 其中C₁，C₁为任意常数．此y在x=0处连续且y’连续．又因y"=y+e^|x|，所以在x=0处y"亦连续，即是通解．

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f′(x)+f(x)-1/(x+1)∫0xf(t)dt=0.(1)求f′(x)；(2)证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1.
微分方程y′-xe-y+1/x=0的通解为________.
设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1，k2，…，kn)f(ξ).
设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)＜0，而存在且大于零.证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点.
设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少.证明：∫1n+1f(x)dx≤≤f(1)+∫1nf(x)dx.
设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy′+y=ex的满足(x)=1的解.(1)求F(x)关于x的幂级数；(2)求的和.
求下列不定积分。
设f(x)和ψ(x)在(－∞,+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0,ψ(x)有间断点，则
估计积分的值。
设f(x)为连续函数，且,则F’(x)=________。

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