设A为3阶方阵,且有3个相异的特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3, 证明:β,Aβ,A2β线性无关.

admin2020-04-30  27

问题 设A为3阶方阵,且有3个相异的特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α123
证明:β,Aβ,A2β线性无关.

选项

答案因为Aαiiαi(i=1,2,3),则 Aβ=A(α123)=Aα1+Aα2+Aα31α12α23α3, A2β=A(Aβ)=A(λ1α12α23α3) =λ21α122α223α3. 设存在常数K1,K2,K3,使 K1β+K2Aβ+K3A2β=0, 进而得 (k1+k2λ1+k3λ211+(k1+k2λ2+k3λ222+(k1+k2λ3+k3λ233=0. 由于α1,α2,α3线性无关,于是有 [*] 其系数行列式 [*] 故k1=k2=k3=0,所以,β,Aβ,A2β线性无关.

解析 本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明.
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