设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

admin2020-04-30 64

问题设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ₁，λ₂，λ₃，对应的特征向量依次为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃，
证明：β，Aβ，A²β线性无关．

选项

答案因为Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，则 Aβ=A(α₁+α₂+α₃)=Aα₁+Aα₂+Aα₃ =λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃， A²β=A(Aβ)=A(λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃) =λ²₁α₁+λ²₂α₂+λ²₃α₃．设存在常数K₁，K₂，K₃，使 K₁β+K₂Aβ+K₃A²β=0，进而得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ²₁)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ²₂)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ²₃)α₃=0．由于α₁，α₂，α₃线性无关，于是有 [*] 其系数行列式 [*] 故k₁=k₂=k₃=0，所以，β，Aβ，A²β线性无关．

解析本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．

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考研数学一

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设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

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设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是

α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且｜A｜=1，｜B｜=2，则｜A+B｜=()

设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．

设A=，A是A的伴随矩阵，则AX=0的通解是_______。

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=______。

设为三维空间的两组基，则从基ε1，ε2，ε3到基e1，e2，e3的过渡矩阵为________．

设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______。

设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B为A的逆矩阵，则a=________．

微分方程y’’+y=x2的通解为_____．

二阶常系数非齐次线性微分方程y"-4y’+3y=2e2x的通解为y=__________．

从液态转变成气态的相变过程称为()。

下列各项中，不属于受欢迎的公众的是()

行政管理学的研究对象包括政府行政机关对社会公共事务的管理和（）

女性45岁，巩膜及皮肤黄杂10个月，伴皮肤瘙痒。查体：巩膜及皮肤明显黄染，肝肋下3cm，质硬，光滑，脾大近脐。血清抗线粒体抗体滴度明显增高，血清总胆红素85μmol/L，直接胆红素56μmol/L，ALP250IU，ALT120IU，γ-GT20

房地产权属登记是指经权利人申请，由房地产权属登记机关将有关申请人的房地产权利事项记载于房地产登记簿并进行公示的行为。

A注册会计师是R公司2005年度会计报表项目负责人，在对审计工作底稿复核过程中，注意到以下事项，请代为判断助理人员得出的相关审计结论是否正确。

积极的财政政策

ReadthearticlebelowabouttheUKretailsector.ChoosethebestwordtofilleachgapfromA,B,CorDontheoppositep

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设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*X=0的通解是_______。

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