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  3. 设f(x)，g(x)在(－∞，＋∞)上有定义，且x＝x1是f(x)的唯一间断点，x＝x2是g(x)的唯一间断点，则( )

设f(x)，g(x)在(－∞，＋∞)上有定义，且x＝x1是f(x)的唯一间断点，x＝x2是g(x)的唯一间断点，则( )

admin2021-10-02  13
问题 设f(x)，g(x)在(－∞，＋∞)上有定义，且x＝x1是f(x)的唯一间断点，x＝x2是g(x)的唯一间断点，则(      )
选项 A、当x1＝x2时，f(x)＋g(x)必有唯一的间断点x＝x1。
B、当x1≠x2时，f(x)＋g(x)必有两个间断点x＝x1与x＝x2。
C、当x1＝x2时，f(x)g(x)必有唯一间断点x＝x1。
D、当x1≠x2时，f(x)g(x)必有两个间断点x＝x1与x＝x2。
答案B
解析 令F(x)＝f(x)＋g(x)，假设F(x)在x＝x1处连续，由f(x)＝F(x)－g(x)及已知条件g(x)仅在x＝x2处间断，在其他点处均连续，于是推出f(x)在x＝x1处连续，这与已知条件矛盾，故F(x)在x＝x1处间断。同理，F(x)在x＝x2处亦间断。下面一一举出其他三项的反例：
A项的反例f(x)＝g(x)＝－f(x)，而f(x)＋g(x)＝0无间断点；C项的反例与A项的相同，此时f(x)g(x)＝－1，无间断点；D项的反例f(x)＝g(x)＝f(x)g(x)＝0无间断点。
本题主要考查间断点的判断，可通过举反例的方法逐一排除错误选项。
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考研数学三

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