2. 考研
  3. 设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．求： (1)f(x1，x2，x3)=0的解． (2)f(x1，x2，x3)的规范形．

设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．求： (1)f(x1，x2，x3)=0的解． (2)f(x1，x2，x3)的规范形．

admin2020-09-25  105
问题 设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．求：
  (1)f(x1，x2，x3)=0的解．
  (2)f(x1，x2，x3)的规范形．
选项
答案(1)由f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2=0，则应有 [*] 当a=2时，方程组有非零解x=[*]其中k为任意常数； 当a≠2时，方程组只有零解． (2)当a≠2时，此时显然二次型正定，令[*]则对应的规范形为 f(y1，y2，y3)=y12+y22+y32． 当a=2时，由于f(x1，x2，x3)=2(x12一x1x2+3x1x3)+2x22+6x32 [*] 令[*]得规范形为f(z1，z2，z3)=z12+z22．
解析
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考研数学三

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