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设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数.求: (1)f(x1,x2,x3)=0的解. (2)f(x1,x2,x3)的规范形.
设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数.求: (1)f(x1,x2,x3)=0的解. (2)f(x1,x2,x3)的规范形.
admin
2020-09-25
95
问题
设实二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
一x
2
+x
3
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
1
+ax
3
)
2
,其中a是参数.求:
(1)f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解.
(2)f(x
1
,x
2
,x
3
)的规范形.
选项
答案
(1)由f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
一x
2
+x
3
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
1
+ax
3
)
2
=0,则应有 [*] 当a=2时,方程组有非零解x=[*]其中k为任意常数; 当a≠2时,方程组只有零解. (2)当a≠2时,此时显然二次型正定,令[*]则对应的规范形为 f(y
1
,y
2
,y
3
)=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
. 当a=2时,由于f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(x
1
2
一x
1
x
2
+3x
1
x
3
)+2x
2
2
+6x
3
2
[*] 令[*]得规范形为f(z
1
,z
2
,z
3
)=z
1
2
+z
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lPx4777K
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考研数学三
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