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设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数。试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn
设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数。试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn
admin
2019-05-08
69
问题
设有n元实二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+α
1
x
2
)
2
+(x
2
+x
2
x
3
)
2
+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,其中a
i
(i=1,2,…,n)为实数。试问:当a
1
,a
2
,…,a
n
满足何种条件时,二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型。
选项
答案
由题设条件知,对任意的x
1
,x
2
,…,x
n
,有 f(x
1
,x
2
,…,x
n
)≥0 其中等号成立当且仅当 [*] 方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零,即 [*] 所以,当1+(一1)
n+1
a
1
,a
2
…a
n
≠0时,对于任意的不全为零的x
1
,x
2
,…,x
n
,有f(x
1
,x
2
,…,x
n
)>0,即当 a
1
a
2
…,a
n
≠(一1)
n
时,二次型,为正定二次型。
解析
本题综合考查二次型的正定性、齐次方程组仅有零解的条件、行列式的展开法则等知识及其灵活应用。注意,本题将f正定归结为齐次方程组(*)仅有零解,是求解的关键。本题f是平方和,所以也可以考虑用标准形来作:若矩阵
就可将f化成规范形f=y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
。因此,由|A|≠0,就可得a
1
a
2
…a
n
≠(一1)
n
,此时,f正定。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YzJ4777K
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考研数学三
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