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抛物线y=x2上任意点(a ,a2)(a>0)处引切线L1,在另一点处引另一切线L2,L2与L1垂直, (Ⅰ)求L1与L2交点的横坐标x1; (Ⅱ)求 L1,L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a); (Ⅲ)问a>0取向值时S(a)取最小值。
抛物线y=x2上任意点(a ,a2)(a>0)处引切线L1,在另一点处引另一切线L2,L2与L1垂直, (Ⅰ)求L1与L2交点的横坐标x1; (Ⅱ)求 L1,L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a); (Ⅲ)问a>0取向值时S(a)取最小值。
admin
2020-12-17
150
问题
抛物线y=x
2
上任意点(a ,a
2
)(a>0)处引切线L
1
,在另一点处引另一切线L
2
,L
2
与L
1
垂直,
(Ⅰ)求L
1
与L
2
交点的横坐标x
1
;
(Ⅱ)求 L
1
,L
2
与抛物线y=x
2
所围图形的面积S(a);
(Ⅲ)问a>0取向值时S(a)取最小值。
选项
答案
(Ⅰ)抛物线y=x
2
在点(a,a
2
)处的切线为L
1
:y=a
2
+2a(x-a),即y=2ax-a
2
,另一点(b,b
2
)处的切线为L
2
:y=b
2
+2b(x-b),即y=2bx-b
2
,由L
1
与L
2
垂直→2b=[*],b=[*]。 它们的交点(x
1
,y
1
)满足2ax
1
-a
2
=2bx
1
-b
2
,x
1
=[*]。 于是[*]。 (Ⅱ) L
1
,L
2
与y=x
2
所围图形的面积 [*] 由x
1
的表达式知,x
1
-b=a-x
1
→[*] (Ⅲ)求导解最值问题,由[*]→a=[*]时s(a)取最小值。 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lRx4777K
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考研数学三
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