[2009年] 设函数y=f(x)在区间[-1,3]上的图形为 则函数的图形为( ).

admin2019-03-30  52

问题 [2009年]  设函数y=f(x)在区间[-1,3]上的图形为
         
则函数的图形为(    ).
         

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案D

解析 解一  为判别F(x)的图形,首先要明确在各个区间上F(x)的性质.
    (1)当x∈[-1,0]时,f(x)=1,F’(x)=f(x)=1>0.故F(x)单调增加,且
         
    由F(0)=0排除(C),由F(x)=x<0,x∈[-1,0),排除(A)、(C).
    (2)当x∈[0,1]时,F’(x)=f(x)≤0,F(x)单调下降,且故排除(C).
    (3)当x∈(2,3]时,f(x)=0即F(x)在x=2处连续.
    事实上,f(x)是在[-1,3]上仅有两点x1=0,x2=2不连续的连续函数,由命题1.3.4.1(2)知,f(x)可积,再由命题1.3.4.2(1)知,F(x)必在[-1,3]上连续,据此排除(B).于是仅(D)入选.
    解二  f(x)在区间[-1,3]上是分段连续且是有界函数,由命题1.3.4.1(2)知,f(x)在[-1,3]可积,再由命题1.3.4.2(1)知,在[-1,3]上连续.因此在x=2处连续,而选项(B)中的F(x)在x=2处不连续,排除(B).
    由定积分性质而(C)中F(0)=1≠0,排除(C).又当x∈[-1,0)时,而(A)中F(x)≥0,排除(A).仅(D)入选.
    注:命题1.3.4.1  (1)若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积;
                         (2)若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积;
        命题1.3.4.2  (1)若f(x)在[a,b]上可积,则对任意x∈[a,b],变上限积分函数在[a,b]上连续;
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