设函数f(t)在[0，a]上连续，证明，其中区域Ω：x≤z≤y，x≤y≤a，0≤x≤a．

admin2022-07-21 90

问题设函数f(t)在[0，a]上连续，证明

，其中区域Ω：x≤z≤y，x≤y≤a，0≤x≤a．

选项

答案设函数f(x)的原函数为F(x)=∫₀^xf(t)dt．显然F(0)=0，dF(x)=f(x)dx．于是 [*]f(x)f(y)f(z)dv=∫₀^af(x)dx∫_x^af(y)dy∫_x^yf(z)dz =∫₀^af(x)dx∫_x^af(y)[F(y)-F(x)]dy=∫₀^af(x)dx[∫_x^aF(y)dF(y)-F(x)∫_x^adF(y) =∫₀^af(x)[[*]F²(y)-F(x)F(y)]｜_x^adx=[*]∫₀^af(x)[F(a)-F(x)]²dx =-[*]∫₀^a[F(a)-F(x)]²d[F(a)-F(x)]=-[*][F(a)-F(x)]³｜₀^a =[*]F³(a)=[*][∫₀^af(t)dt]³

解析

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