设x,y,z为实数，且满足关系式ex+y2+|z|=3,试证exy2|z|≤1.

admin2022-10-08 53

问题设x,y,z为实数，且满足关系式e^x+y²+|z|=3,试证e^xy²|z|≤1.

选项

答案设f(x,y)=e^xy²(3－e^x－y²),因为|z|≥0,故函数f(x,y)的定义域是D：e^x+y²≤3，现求函数f(x,y)在域D：e^x+y²≤3上的最大值，令 [*] 则y=0,此时对域D上的点来说，应有x≤ln3,或 [*] 但当y=0时，f(x,y)=0,而当x=0,y=±1时，f(0,±1）=1 此外，在域D的边界上，即e^x+y²=3时， f(x,y)=e^xy²(3－3)=0 所以f(0,±1)=1为函数f(x)在e^x+y²≤3上的最大值，即e^xy²|z|≤1

解析

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