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证明:(1)若随机变量X只取一个值a,则X与任一随机变量Y独立;(2)若随机变量X与自己独立,则存在C,使得P(X=C)=1.
证明:(1)若随机变量X只取一个值a,则X与任一随机变量Y独立;(2)若随机变量X与自己独立,则存在C,使得P(X=C)=1.
admin
2017-06-26
37
问题
证明:(1)若随机变量X只取一个值a,则X与任一随机变量Y独立;(2)若随机变量X与自己独立,则存在C,使得P(X=C)=1.
选项
答案
(1)χ<a时,P(X≤χ)=0,故P(X≤χ,Y≤y)=P(X≤χ)P(Y≤y)=0;χ≥a时,P(X≤χ)=1,故P(X≤χ,Y≤y)=P(Y≤y)=P(X≤χ)P(Y≤y).[*]y∈R
1
即[*](χ,y)∈R
2
,有P(X≤χ,Y≤y)=P(X≤χ)P(Y≤y),即X与Y独立; (2)由已知得:[*](χ,y)∈R
2
,有P(X≤χ,Y≤y)=P(X≤χ)P(Y≤y),记X的分布函数为F(χ),则F(χ)=P(X≤χ) 前式中令y=χ即得F(χ)=[F(χ)]
2
,可见F(χ)只能取0或1,又由F(-∞)=0,F(+∞)=1,知必存在C(常数),使得 [*] 故P{X=C}=1.
解析
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考研数学三
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