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齐次线性方程组 的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O,则( )
齐次线性方程组 的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O,则( )
admin
2019-03-11
26
问题
齐次线性方程组
的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O,则( )
选项
A、λ=-2且|B|=0
B、λ=-2且|B|≠0
C、λ=1且|B|=0
D、λ=1且|B|≠0
答案
C
解析
1 设B按列分块为B=[β
1
β
2
β
3
],则由题设条件,有
O=AB=[Aβ
1
Aβ
2
Aβ
3
]
所以Aβ
j
=0(j=1,2,3),即矩阵B的每一列都是方程组Ax=0的解.又B≠O,故B至少有一列非零,因而方程组Ax=0存在非零解,从而有
=(λ-1)
2
=0
得λ=1
另一方面,必有|B|=0,否则|B|≠0,则B可逆,于是由给AB=O两端右乘B
-1
,得A=O,这与A≠O矛盾,故必有|B|=0.
因此C正确.
2 同解1一样可说明必有|B|=0,同理有|A|=0,观察可知当λ=1时有|A|=
=0,故C正确.
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考研数学三
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