齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O，则( )

admin2019-03-11 68

问题齐次线性方程组

的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O，则( )

选项 A、λ=－2且|B|=0
B、λ=－2且|B|≠0
C、λ=1且|B|=0
D、λ=1且|B|≠0

答案C

解析 1 设B按列分块为B=[β₁ β₂ β₃]，则由题设条件，有
O=AB=[Aβ₁Aβ₂ Aβ₃]
所以Aβ_j=0(j=1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Ax=0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Ax=0存在非零解，从而有

=(λ－1)²=0
得λ=1
另一方面，必有|B|=0，否则|B|≠0，则B可逆，于是由给AB=O两端右乘B^－1，得A=O，这与A≠O矛盾，故必有|B|=0．
因此C正确．
2 同解1一样可说明必有|B|=0，同理有|A|=0，观察可知当λ=1时有|A|=

=0，故C正确．

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考研数学三

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