设函数y=y(x)在(－∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=2／3的解。

admin2019-06-09 88

问题设函数y=y(x)在(－∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=2／3的解。

选项

答案方程(*)所对应的齐次方程y"－y=0的通解为 Y=C₁e^x+C₂e^－x。设方程(*)的特解为 y^*=Acosx+Bsinx，代入方程(*)，求得 A=0，B=－1／2，即y^*=－1／2sinx，因此y"－y=sinx的通解是 y=Y+y^*=C₁e^x+C₂e^x－[*]sinx。由y(0)=0，y’(0)=3／2，得C₁=1，C₂=－1。故所求初值问题的解为 y=e^x－e^－x－[*]sinx。

解析

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