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设f(x)在[0,1]上可导,∫01f(x)dx=∫01x f(x)dx=0,试证:存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=0.
设f(x)在[0,1]上可导,∫01f(x)dx=∫01x f(x)dx=0,试证:存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=0.
admin
2019-01-23
49
问题
设f(x)在[0,1]上可导,∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
x f(x)dx=0,试证:存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=0.
选项
答案
作辅助函数F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,又0=∫xf(x)dx=∫
0
1
xdF(x)=xF(x)|
0
1
—∫
0
1
F(x)dx=0,由积分中值定理, 存在点η∈(0,1),使得F(η)=0.于是,在[0,η]和[η,1]上分别对F(x)应用洛尔定理,存在点ξ
1
∈(0,η),ξ
2
∈(η,1),使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0. 在[ξ
1
,ξ
2
]上对f(x)再应用洛尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,1),使得f’(ξ)=0.
解析
证明存在点ξ,使得f’(ξ)=0,可对f(x)用一次洛尔定理,也可对f(x)的原函数∫
a
x
f(t)dt用两次洛尔定理.
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考研数学一
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