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证明条件极值点的必要条件(8.9)式,并说明(8.9)式的几何意义.
证明条件极值点的必要条件(8.9)式,并说明(8.9)式的几何意义.
admin
2017-08-18
47
问题
证明条件极值点的必要条件(8.9)式,并说明(8.9)式的几何意义.
选项
答案
由所设条件,φ(x,y)=0在x=x
0
的某邻域确定隐函数y=y(x)满足y
0
=y(x
0
), 于是P
0
(x
0
,y
0
)是z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点[*]z=f(x,y(x))在x=x
0
取极值[*] [*]f’
x
(x
0
,y
0
)+f’
y
(x
0
,y
0
)y’(x
0
)=0 ① 又由φ(x,y(x))=0,两边求导得 φ’
x
(x
0
,y
0
)+φ’
y
(x
0
,y
0
))=0, 解得y’(x
2
)=一φ’
x
(x
0
,y
0
)/φ’
y
(x
0
,y
0
). ② 将②式代入①式得f’
x
(x
0
,y
0
)—f’
y
(x
0
,y
0
)φ’(x
0
,y
0
)/φ’
y
(x
0
,y
n
)=0. 因此[*] 在Oxy平面上看,φ(x,y)=0是一条曲线,它在P
0
(x
0
,y
0
)的法向量是(φ’
x
(P
0
),φ’
y
(P
0
)),而f(x,y)=f(x
0
,y
0
)是一条等高线,它在P
0
的法向量是(f’
x
(P
0
),f’
y
(P
0
)),(8.9)式表示这两个法向量平行,于是曲线φ(x,y)=0与等高线f(x,y)=f(P
0
)在点P
0
处相切.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cBr4777K
0
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