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  3. 证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．

证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．

admin2017-08-18  39
问题 证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．
选项
答案由所设条件，φ(x，y)＝0在x＝x0的某邻域确定隐函数y＝y(x)满足y0＝y(x0)， 于是P0(x0，y0)是z＝f(x，y)在条件φ(x，y)＝0下的极值点[*]z＝f(x，y(x))在x＝x0取极值[*] [*]f’x(x0，y0)＋f’y(x0，y0)y’(x0)＝0 ① 又由φ(x，y(x))＝0，两边求导得 φ’x(x0，y0)＋φ’y(x0，y0))＝0， 解得y’(x2)＝一φ’x(x0，y0)／φ’y(x0，y0)． ② 将②式代入①式得f’x(x0，y0)—f’y(x0，y0)φ’(x0，y0)／φ’y(x0，yn)＝0． 因此[*] 在Oxy平面上看，φ(x，y)＝0是一条曲线，它在P0(x0，y0)的法向量是(φ’x(P0)，φ’y(P0))，而f(x，y)＝f(x0，y0)是一条等高线，它在P0的法向量是(f’x(P0)，f’y(P0))，(8．9)式表示这两个法向量平行，于是曲线φ(x，y)＝0与等高线f(x，y)＝f(P0)在点P0处相切．
解析
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考研数学一

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