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(2003年)设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (I)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(z)满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,的
(2003年)设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (I)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(z)满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,的
admin
2018-03-11
58
问题
(2003年)设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(I)试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(z)满足的微分方程;
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,
的解。
选项
答案
(I)将题中的[*]变换成以x为自变量y为因变量的导数[*]来表示(即通常所说的反函数变量变换),有 [*] 代入原方程,得 y"一y=sinx。 (*) (Ⅱ)方程(*)所对应的齐次方程为y"一y=0,特征方程为r
2
一1=0,根r
1,2
=±1,因此通解为Y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
。 设方程(*)的特解为y
*
=Acosx+Bsinx,则 y
*
′=一Asinx+Bcosx,y
*
"=一Acosx—Bsinx, 代入方程(*),得 一Acosx一Bsinx—Acosx一Bsinx=一2Acosx一2Bsinx=sinx, 解得A=0,[*]从而y"一y=sinx的通解为 [*] 由y(0)=0,[*]得C
1
=1,C
2
=一1。故变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=[*]的解为 [*] 且y(x)的导函数[*]满足题设y′≠0条件。
解析
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考研数学一
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