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设f(x)为n+1阶可导函数,求证:f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0,f)(n)(x)≠0.
设f(x)为n+1阶可导函数,求证:f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0,f)(n)(x)≠0.
admin
2019-07-19
23
问题
设f(x)为n+1阶可导函数,求证:f(x)为n次多项式的充要条件是f
(n+1)
(x)≡0,f
)(n)
(x)≠0.
选项
答案
由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f’(0)x+…+[*]f
(n)
(0)x
n
+[*]x
n+1
. 若f
n+1
(x)≡0,f
(n)
(x)≠0,由上式[*] f(x)=f(0)+f’(0)x+…+[*]f
(n)
(0)x
n
是n次多项式. 反之,若f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
(a
n
≠0)是n次多项式,显然 f
(n)
(x)=a
n
n!≠0,f
(n+1)
(x)≡0.
解析
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考研数学一
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