设3阶矩阵A相似于diag(1,2,3),且B=(A-E)(A-2E)(A-3E),则r(B)=

admin2022-06-09  24

问题 设3阶矩阵A相似于diag(1,2,3),且B=(A-E)(A-2E)(A-3E),则r(B)=

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解析 由A~A,知存在可逆矩阵P,使得P-1AP=A,故A=PAP-1,从而
B=(A-E)(A-2E)(A-3E)
=(PAP-1-E)(PAP-1-2E)(PAP-1-3E)
=P(A-E)P-1·P(A-2E)P-1·P(A-3E)P-1
=P(A-E)(A-2E)(A-3E)P-1
=P
=POP-41=O
由此可知r(B)=0
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