2. 考研
  3. (2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有 【 】

(2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有 【 】

admin2016-05-30  58
问题 (2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有    【    】
选项 A、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．
B、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关．
C、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关．
D、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关．
答案A
解析 由已知，存在常数β，l，l，l，使得
    β1＝l1α1＋l2α2＋l3α3    (*)
    如果kβ1＋β2可由α1，α2，α3线性表示，则存在常数m1，m2，m3，使得
    kβ1＋β2＝m1α1＋m2α2＋m3α3    (**)
    将(*)式代入(**)式，可得
    β2＝(m1－kl1)α1＋(m2－kl2)α2＋(m3－kl3)α3
    即β2可由α1，α2，α3线性表示，这与已知条件矛盾，故kβ1＋β2必不能由α1，α2，α3线性表示．再根据结论：“若α1，α2，α3线性无关，则向量β不能由α1，α2，α3线性表示α1，α2，α3，β线性无关”，便可推知α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关，因此，选项A正确．
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考研数学二

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