设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．

admin2022-10-09 67

问题设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e^2ξ-η=(e^a+e^b)[f’(η)+f(η)]．

选项

答案令φ(x)=e^xf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得[f(b)-f(a)]/(b-a)=e^η[f’(η)+f(η)]，再由f(a)=f(b)=1，得(e^b-e^a)/(b-a)=e[f’(η)+f(η)]，从而(e^2b-e^2a)/(b-a)=(e^a+e^b)e^η[f’(η)+f(η)]，令φ(x)=e^2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得(e^2b-e^2a)/(b-a)=2e^2ξ，即2e^2ξ=(e^a+e^b)e^η[f’(η)+f(η)]，或2e^2ξ-η=(e^a+e^b)[f’(η)+f(η)]．

解析

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考研数学三

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