2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．

admin2022-10-09  66
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．
选项
答案令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得[f(b)-f(a)]/(b-a)=eη[f’(η)+f(η)]，再由f(a)=f(b)=1，得(eb-ea)/(b-a)=e[f’(η)+f(η)]，从而(e2b-e2a)/(b-a)=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得(e2b-e2a)/(b-a)=2e2ξ，即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．
解析
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考研数学三

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