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已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2． (I)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (III)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2． (I)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (III)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
admin
2016-04-11
56
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1一a)x
1
2
+(1一a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)
1
x
2
的秩为2．
(I)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化成标准形；
(III)求方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解．
选项
答案
(1)f的秩为2，即f的矩阵 [*] 可知A的特征值为λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0． A的属于λ
1
=2的线性无关的特征向量为 η
1
=(1，l，0)
T
，η
2
=(0，0，1)
T
A的属于λ
3
=0的线性无关的特征量为 η
3
=(-1，1，0)
T
易见η
1
，η
2
，η
3
，两两正交．将η
1
，η
2
，η
3
单位化得 [*] 取Q=(e
1
，e
2
，e
3
)，则Q为正交矩阵．作正交变换x=Qy，得f的标准形为 f(η
1
，η
2
，η
3
)=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=2y
1
2
+2y
1
2
． (3)在正交变换x=Qy下，f(η
1
，η
2
，η
3
)=0化成2y
1
2
+2y
1
2
=0，解之得y
1
一y
2
=0，从而得所求方程的解为x=Q[*]=y
3
e
3
=k(-1，1，0)
2
，其中k为任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/m8w4777K
0
考研数学一
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