已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2. (I)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形; (III)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

admin2016-04-11  35

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2.
(I)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
(III)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

选项

答案(1)f的秩为2,即f的矩阵 [*] 可知A的特征值为λ12=2,λ3=0. A的属于λ1=2的线性无关的特征向量为 η1=(1,l,0)T,η2=(0,0,1)T A的属于λ3=0的线性无关的特征量为 η3=(-1,1,0)T 易见η1,η2,η3,两两正交.将η1,η2,η3单位化得 [*] 取Q=(e1,e2,e3),则Q为正交矩阵.作正交变换x=Qy,得f的标准形为 f(η1,η2,η3)=λ1y122y223y32=2y12+2y12. (3)在正交变换x=Qy下,f(η1,η2,η3)=0化成2y12+2y12=0,解之得y1一y2=0,从而得所求方程的解为x=Q[*]=y3e3=k(-1,1,0)2,其中k为任意常数。

解析
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