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(1999年试题,十二)设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(一1,一3,5,1)T,α3=(3,2,一1,p+2)T,α4=(一2,一6,10,p)T (1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α1,α2,α3,
(1999年试题,十二)设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(一1,一3,5,1)T,α3=(3,2,一1,p+2)T,α4=(一2,一6,10,p)T (1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α1,α2,α3,
admin
2014-07-22
68
问题
(1999年试题,十二)设向量组α
1
=(1,1,1,3)
T
,α
2
=(一1,一3,5,1)
T
,α
3
=(3,2,一1,p+2)
T
,α
4
=(一2,一6,10,p)
T
(1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)
T
用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出;
(2)p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
选项
答案
由题设,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关等价于矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)的行列式|A|≠0,即[*]即p≠2时,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,此时α用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性示等价于方程组Ax=α,将相应的增广矩阵化为行简化阶梯形为[*]所以[*]因此[*]当p=2时,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,此时向量组的秩等于3,α
1
,α
2
,α
3
(α
1
,α
3
,α
4
)为其一个极大线性无关组.
解析
一向量是否可用一组向量线性表示,等价于对应的线性方程组是否有解,若对应的线性方程组无解,则不能线性表示;若对应的线性方程组有唯一解,则可以线性表示,并且表示方法唯一;若对应的线性方程组有无穷多组解,则可以线性表示,并且表示方法有无穷多种.
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