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(1999年试题，十二)设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，p+2)T，α4=(一2，一6，10，p)T (1)p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3,

admin2014-07-22  104
问题 (1999年试题，十二)设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，p+2)T，α4=(一2，一6，10，p)T
(1)p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3,α4线性表出；
(2)p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．
选项
答案由题设，向量组α1，α2，α3,α4线性无关等价于矩阵A=(α1，α2，α3,α4)的行列式｜A｜≠0，即[*]即p≠2时，向量组α1，α2，α3,α4线性无关，此时α用α1，α2，α3,α4线性示等价于方程组Ax=α，将相应的增广矩阵化为行简化阶梯形为[*]所以[*]因此[*]当p=2时，向量组α1，α2，α3,α4线性相关，此时向量组的秩等于3，α1，α2，α3(α1，α3，α4)为其一个极大线性无关组．
解析 一向量是否可用一组向量线性表示，等价于对应的线性方程组是否有解，若对应的线性方程组无解，则不能线性表示；若对应的线性方程组有唯一解，则可以线性表示，并且表示方法唯一；若对应的线性方程组有无穷多组解，则可以线性表示，并且表示方法有无穷多种．
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考研数学二

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