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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意正数a,b,在(0,1)内存在不同的两点ξ,η,使
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意正数a,b,在(0,1)内存在不同的两点ξ,η,使
admin
2020-06-20
25
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意正数a,b,在(0,1)内存在不同的两点ξ,η,使
选项
答案
按要证的结论,我们需要找一点e∈(0,1),分别在[0,e]与[e,1]上用拉格朗日中值定理→[*]ξ∈(0,c),η∈(c,1)使得[*]于是[*]问题转化为如何取c,使[*]即[*]只需取c使得[*]也即只需取c使得[*]因为a>0,b>0,定有[*]在[0,1]上连续,f(0)=0,f(1)=1,由介值定理可知[*],使[*],取这样的c,命题即得证.
解析
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考研数学三
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