(99年)设函数f(χ)连续，且∫0χtf(2χ－t)dt＝arctanχ2，已知f(1)＝1，求∫12f(χ)dχ的值．

admin2019-03-19 105

问题 (99年)设函数f(χ)连续，且∫₀^χtf(2χ－t)dt＝

arctanχ²，已知f(1)＝1，求∫₁²f(χ)dχ的值．

选项

答案令u＝2χ－t，则∫₀^χtf(2χ－t)dt＝－∫_2χ^χ(2χ－u)f(u)du＝2χ∫_χ^2χf(u)du－∫_χ^2χuf(u)du 于是 2χ∫_χ^2χf(u)du－∫_χ^2χuf(u)du＝[*]arctanχ² 上式两边对χ求导得 2∫_χ^2χf(u)du＋2χ[2f(2χ)－f(χ)]－[2χf(aχ).2－χf(χ)]＝[*] 即2∫₁²f(u)du＝[*]＋χf(χ) 令χ＝1得2∫f(u)du＝[*] 于是∫f(χ)dχ＝[*]

解析

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考研数学三

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