设有方程组 (Ⅰ)求方程组(i)与(ii)的基础解系与通解； (Ⅱ)求方程组(i)与(ii)的公共解．

admin2019-08-21 68

问题设有方程组

(Ⅰ)求方程组(i)与(ii)的基础解系与通解；
(Ⅱ)求方程组(i)与(ii)的公共解．

选项

答案(Ⅰ)将方程组(i)改写为 [*] 令[*]取[*]，[*]，得(i)的基础解系 α₁=(0，-1，1，0)^T， α₂=(-1，0，0，1)^T，故方程组(i)的通解为k₁α₁+k₂α₂，k₁，k₂为常数．又将方程组(ii)改写为 [*] 令[*]取[*]，[*]，得(ii)的基础解系 β₁=(0，1，0，-2)^T， β₂=(-2，0，1，0)^T，故方程组(ii)的通解为k₁β₁+k₂β₂，k₁，k₂为常数． (Ⅱ)联立方程组(i)和(ii)，求得的通解即为公共解． [*] 对系数矩阵A进行初等行变换，可得 [*] 从而解得基础解系 ξ=(-2，-1，1，2)^T．所以方程组(i)和(ii)的公共解为 ξ，k为常数．

解析若两个方程组都给了一般表示式，则求公共解，只需联立求通解即可．

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考研数学二

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