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  3. 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )

admin2019-03-11  28
问题 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组(    )
选项 A、α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关。
B、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关。
C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关。
D、α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1线性无关。
答案C
解析 方法一：因向量组α1，α2，α3，α4线性无关，所以由向量组α1，α2，α3，α4到向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1的过渡矩阵A=，即
(α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1)=(α1，α2，α3，α4)A。
由于|A|=2≠0，所以过渡矩阵A可逆，因此向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关，故选C。   
    类似地，可以判断其他三个选项中的过渡矩阵均不可逆，所以A、B、D三项中的向量组均线性相关。   
方法二：排除法
通过观察可知
(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，
(α1+α2)一(α2+α3)+(α3+α4)一(α4+α1)=0，
    (α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，
    即A,B,D三项中的向量组均线性相关，故选C。
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考研数学三

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