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  3. 设f(x)是连续且单调递增的奇函数，已知F(x)＝∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是( )

设f(x)是连续且单调递增的奇函数，已知F(x)＝∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是( )

admin2019-12-06  16
问题 设f(x)是连续且单调递增的奇函数，已知F(x)＝∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是(     )
选项 A、单调递增的奇函数
B、单调递减的奇函数
C、单调递增的偶函数
D、单调递减的偶函数
答案B
解析 令x－u＝t，则
F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt，F(﹣x)＝∫0﹣x(﹣x－2t)f(t)dt，
令t＝﹣u，则
F(﹣x)＝﹣∫0x(﹣x＋2u)f(﹣u)du＝∫0x(x－2u)f(﹣u)du。
因为f(x)是奇函数，则
f(x)＝﹣f(﹣x)，F(﹣x)＝﹣∫0x(x－2u)f(u)du，
则有F(x)＝﹣F(﹣x)，故F(x)为奇函数。
F’(x)＝∫0xf(t)dt－xf(x)，
由积分中值定理可得∫0xf(t)dt＝f(ξ)x，ξ介于0到x之间，故
F’(x)＝f(ξ)x－xf(x)＝[f(ξ)－f(x)]x，
因为f(x)单调递增，则当x﹥0时，ξ∈[0，x]，f(ξ)－f(x)﹤0，所以F’(x)﹤0，F(x)单调递减；当x﹤0时，ξ∈[x，0]，f(ξ)－f(x)﹥0，所以F’(x)﹤0，F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。
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考研数学二

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