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设f(x)是连续且单调递增的奇函数,已知F(x)=∫0x(2u-x)f(x-u)du,则F(x)是( )
设f(x)是连续且单调递增的奇函数,已知F(x)=∫0x(2u-x)f(x-u)du,则F(x)是( )
admin
2019-12-06
54
问题
设f(x)是连续且单调递增的奇函数,已知F(x)=∫
0
x
(2u-x)f(x-u)du,则F(x)是( )
选项
A、单调递增的奇函数
B、单调递减的奇函数
C、单调递增的偶函数
D、单调递减的偶函数
答案
B
解析
令x-u=t,则
F(x)=∫
0
x
(x-2t)f(t)dt,F(﹣x)=∫
0
﹣x
(﹣x-2t)f(t)dt,
令t=﹣u,则
F(﹣x)=﹣∫
0
x
(﹣x+2u)f(﹣u)du=∫
0
x
(x-2u)f(﹣u)du。
因为f(x)是奇函数,则
f(x)=﹣f(﹣x),F(﹣x)=﹣∫
0
x
(x-2u)f(u)du,
则有F(x)=﹣F(﹣x),故F(x)为奇函数。
F
’
(x)=∫
0
x
f(t)dt-xf(x),
由积分中值定理可得∫
0
x
f(t)dt=f(ξ)x,ξ介于0到x之间,故
F
’
(x)=f(ξ)x-xf(x)=[f(ξ)-f(x)]x,
因为f(x)单调递增,则当x﹥0时,ξ∈[0,x],f(ξ)-f(x)﹤0,所以F
’
(x)﹤0,F(x)单调递减;当x﹤0时,ξ∈[x,0],f(ξ)-f(x)﹥0,所以F
’
(x)﹤0,F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mTA4777K
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考研数学二
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