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  3. 已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=Λ。

已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=Λ。

admin2019-03-23  46
问题 已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=Λ。
选项
答案因λ=5是矩阵A的特征值，则由 ｜5E—A｜=[*]=3(4—a2)=0， 可得a=±2。 当a＞0，即a=2时，则由矩阵A的特征多项式 ｜λE—A｜=[*]=(λ—2)(λ—5)(λ—1)=0， 可得矩阵A的特征值是1，2，5。 由(E—A)x=0，得基础解系α1=(0，1，—1)T； 由(2E—A)x=0，得基础解系α2=(1，0，0)T； 由(5E—A)z=0，得基础解系α3=(0，1，1)T。 即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α1，α2，α3。 由于A为实对称矩阵，且实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故只需将以上特征向量单位化，即有 [*] 那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，则有Q—1AQ=[*]。
解析
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考研数学二

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