设在区间[e，e2]上数p，q满足条件px+q≥lnx，问p，q为何值时，积分I(p，q)=∫ee2(px+q－lnx)dx取得最小值．

admin2018-09-25 53

问题设在区间[e，e²]上数p，q满足条件px+q≥lnx，问p，q为何值时，积分I(p，q)=∫_e^e²(px+q－lnx)dx取得最小值．

选项

答案要使I(p，q)=∫_e^e²(px+q－lnx)dx最小，直线y=px+q应与曲线y=lnx相切，从而可得到p，q的关系，消去一个参数．通过积分求出I(p)后再用微分方法I(p)的极值点p₀，然后再求出q的值．或将p，q都表示成另一个参数t的函数形式，求出I(t)的极值点后，再求出p，q的值．设直线y=px+q与曲线y=lnx相切于点(t，lnt)，则有 [*] =>q=lnt－1=－lnp－1，于是 I(p，q)=I(p)=∫_e^e²(px－lnp－1－lnx)dx =[*]p(e⁴－e²)－(lnp+1)(e²－e)－e²． [*]

解析

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考研数学一

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