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设矩阵A= (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使P一1AP为对角矩阵.
设矩阵A= (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使P一1AP为对角矩阵.
admin
2017-04-24
61
问题
设矩阵A=
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使P
一1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由于矩阵A与B相似,所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式,由此得 a+3=b+2,2a一3=6 解得 a=4,b=5. (Ⅱ)由于矩阵A与B相似,所以它们有相同的特征多项式: |λE 一A|=|λE 一B|= (λ一1)2(λ一5) 由此得A的特征值为 λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=5 对于λ
1
=λ
2
=1,解方程组(E一 A)x=0,有 [*] 得对应于λ
1
=λ
2
=1的线性无关特征向量ξ
1
=[*] 对于λ
3
=5,解方程组(5E一A)x=0,由 [*] 得对应于λ
1
=5的特征向量ξ
3
=[*] 令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
ξ
3
]=[*] 则矩阵P可作为所求的可逆矩阵,使得P
一1
AP=[*]为对角矩阵.
解析
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