2. 考研
  3. 设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)的前n－1个列向量线性相关，后n－1个列向量线性无关，且α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＝0，b＝α1＋α2…＋αn． (1)证明方程组AX＝b有无穷多个解； (2)求方程组AX＝b的通解．

设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)的前n－1个列向量线性相关，后n－1个列向量线性无关，且α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＝0，b＝α1＋α2…＋αn． (1)证明方程组AX＝b有无穷多个解； (2)求方程组AX＝b的通解．

admin2018-05-17  52
问题 设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)的前n－1个列向量线性相关，后n－1个列向量线性无关，且α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＝0，b＝α1＋α2…＋αn．
    (1)证明方程组AX＝b有无穷多个解；
    (2)求方程组AX＝b的通解．
选项
答案(1)因为r(A)＝n－1，又b＝α1＋α2＋…＋αn，所以r([*])＝n－1． 即r(A)＝r([*])＝n－1＜n，所以方程组AX＝b有无穷多个解． (2)因为α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＝0，所以α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＋0αn＝0， 即齐次线性方程组AX＝0有基础解系ξ＝(1，2，…，n－1，0)T， 又因为b＝α1＋α2＋…＋αn所以方程组AX＝b有特解η＝(1，1，…，1)T， 故方程组AX＝b的通解为 kξ＋η＝k(1，2，…，n－1，0)T＋(1，1，…，1)T(k为任意常数)．
解析
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考研数学二

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