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设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0,b=α1+α2…+αn. (1)证明方程组AX=b有无穷多个解; (2)求方程组AX=b的通解.
设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0,b=α1+α2…+αn. (1)证明方程组AX=b有无穷多个解; (2)求方程组AX=b的通解.
admin
2018-05-17
56
问题
设n阶矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
n
)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,且α
1
+2α
2
+…+(n-1)α
n-1
=0,b=α
1
+α
2
…+α
n
.
(1)证明方程组AX=b有无穷多个解;
(2)求方程组AX=b的通解.
选项
答案
(1)因为r(A)=n-1,又b=α
1
+α
2
+…+α
n
,所以r([*])=n-1. 即r(A)=r([*])=n-1<n,所以方程组AX=b有无穷多个解. (2)因为α
1
+2α
2
+…+(n-1)α
n-1
=0,所以α
1
+2α
2
+…+(n-1)α
n-1
+0α
n
=0, 即齐次线性方程组AX=0有基础解系ξ=(1,2,…,n-1,0)
T
, 又因为b=α
1
+α
2
+…+α
n
所以方程组AX=b有特解η=(1,1,…,1)
T
, 故方程组AX=b的通解为 kξ+η=k(1,2,…,n-1,0)
T
+(1,1,…,1)
T
(k为任意常数).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mgk4777K
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考研数学二
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