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设l为平面曲线y=x2从点O(0,0)到点A(1,1)的有向弧,则平面第二型曲线积分∫lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=______.
设l为平面曲线y=x2从点O(0,0)到点A(1,1)的有向弧,则平面第二型曲线积分∫lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=______.
admin
2018-09-25
18
问题
设l为平面曲线y=x
2
从点O(0,0)到点A(1,1)的有向弧,则平面第二型曲线积分∫
l
ye
y
2
dx+(xe
y
2
+2xy
2
e
y
2
)dy=______.
选项
答案
e
解析
令P(x,y)=ye
y
2
,Q(x,y)=xe
y
2
+2xy
2
e
y
2
,有
曲线积分与路径无关.
方法一 改取路径y=x.
∫
l
ye
y
2
dx+(xe
y
2
+2xy
2
e
y
2
)dy=∫
0
1
(xe
x
2
+xe
x
2
+2x
3
e
x
2
)dx
=∫
0
1
1(2xe
x
2
+2x
3
e
x
2
)dx=(e
x
2
+x
2
e
x
2
-e
x
2
)|
0
1
=e.
方法二 用原函数法.
ye
y
2
x+(xe
y
2
+2xy
2
e
y
2
)dy=e
y
2
(ydx+xdy)+xyde
y
2
=d(xye
y
2
).
∫
l
ye
y
2
dx+(xe
y
2
+2xy
2
e
y
2
)dy=∫
l
d(xye
y
2
)=xye
y
2
|∫
(0,0)
(1,1)
=e.
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考研数学一
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