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  3. [2014年] 设A=，E为3阶单位矩阵． (I)求方程组AX=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

[2014年] 设A=，E为3阶单位矩阵． (I)求方程组AX=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

admin2019-05-10  56
问题 [2014年]  设A=，E为3阶单位矩阵．
(I)求方程组AX=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．
选项
答案对(I)，只需将A化为含最高阶单位矩阵的矩阵，由基础解系的简便求法(参阅《考研数学常考题型解题方法技巧归纳(数学二)》2．4．4节)即可写出一个基础解系．对(Ⅱ)，因A为不可逆矩阵，求解矩阵方程AB=E，常用待定元素法求之，即设出待求矩阵B中元素B=(xij)4×3=(X1，X2，X3)，转化为求解矩阵方程AXi=bi(i=1，2，3)． (Ⅰ)为求AX=0的一个基础解系，只需用初等行变换将A化为含最高阶单位矩阵的矩阵：[*] 由基础解系的简化求法即可得到AX=0的一个基础解系只含一个解向量α，且 α=[一1，2，3，1]T． (Ⅱ)因A不可逆，需用待定元素法求出满足AB=E的所有矩阵，由AB=E，A为3×4矩阵，E为3×3矩阵，则B必为4×3矩阵，设其元素为xij,由B=(xij)4×3得到 [*] 因而得到下述三个线性方程组： [*] 对上述三个方程组的增广矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 由基础解系和特解的简便求法(参阅《考研数学常考题型解题方法技巧归纳(数学二)》2．4．4节)，即得方程组①的一个特解及对应的齐次线性方程组的一个基础解系分别为： η1=[2，一1，一1，0]T，α1=[一1，2，3，1]T 于是该方程组的通解为 X1=[x11，x21，x31，x41]T=Y1+η1=k1α1+η1=[一k1+2，2k1—1，3k1—1，k1]T． 同样由[*]可得方程组②的通解为 X2=[x12，x22，x32，x42]T=Y2+η2=k2α2+η2 =k2[－1，2，3，1]T+[6，一3，一4，0]T=[一k2+6，2k2一3，3k2－4，k2]T． 由[*]可得方程组③的通解为 X3=[x13，x23，x33，x43]T=Y3+η3=k3α3+η3 ． =k3[1，2，3，1]T+[－1，1，l，0]T=[一k3－1，2k3+l，3k3+1，k3]T． 综上得到， B=[X1，X2，X3]=[*](k1，k2，k3为任意常数)．
解析
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考研数学二

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