2. 考研
  3. 设函数f(x)在[－2,2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1,又f2(0)+[f’(0)]2=4. 证明：在（－2,2）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0.

设函数f(x)在[－2,2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1,又f2(0)+[f’(0)]2=4. 证明：在（－2,2）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0.

admin2021-07-15  36
问题 设函数f(x)在[－2,2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1,又f2(0)+[f’(0)]2=4.
证明：在（－2,2）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0.
选项
答案由拉格朗日中值定理有 f(0)－f(－2)=2f’(ξ1),－2＜ξ1＜0 f(2)－f(0)=2f’(ξ2),0＜ξ2＜2 由｜f(x)｜≤1知，｜f’(ξ1)｜=[*]≤1,｜f(ξ2)｜=[*]≤1 令ψ(x)=f2(x)+[f’(x)]2,则有ψ（ξ1）≤2,ψ(ξ2)≤2 因为ψ(x)在[ξ1,ξ2]上连续，且ψ（0）=4，设ψ(x)在[ξ1,ξ2]上的最大值在ξ∈（ξ1，ξ2）[*](－2,2)处取到， 则ψ(ξ)≥4,且ψ(x)在[ξ1,ξ2]上可导，由费马定理有ψ’（ξ）=0，即 2f(ξ)·f’(ξ)+2f’(ξ)·f"(ξ)=0 因为｜f(x)｜≤1,且ψ(ξ)≥4,所以f’(ξ)≠0,于是有 f(ξ)+f"(ξ)=0,ξ∈(－2,2).
解析
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考研数学二

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