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设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f2(0)+[f’(0)]2=4. 证明:在(-2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+f"(ξ)=0.
设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f2(0)+[f’(0)]2=4. 证明:在(-2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+f"(ξ)=0.
admin
2021-07-15
42
问题
设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f
2
(0)+[f’(0)]
2
=4.
证明:在(-2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+f"(ξ)=0.
选项
答案
由拉格朗日中值定理有 f(0)-f(-2)=2f’(ξ
1
),-2<ξ
1
<0 f(2)-f(0)=2f’(ξ
2
),0<ξ
2
<2 由|f(x)|≤1知,|f’(ξ
1
)|=[*]≤1,|f(ξ
2
)|=[*]≤1 令ψ(x)=f
2
(x)+[f’(x)]
2
,则有ψ(ξ
1
)≤2,ψ(ξ
2
)≤2 因为ψ(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,且ψ(0)=4,设ψ(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上的最大值在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](-2,2)处取到, 则ψ(ξ)≥4,且ψ(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上可导,由费马定理有ψ’(ξ)=0,即 2f(ξ)·f’(ξ)+2f’(ξ)·f"(ξ)=0 因为|f(x)|≤1,且ψ(ξ)≥4,所以f’(ξ)≠0,于是有 f(ξ)+f"(ξ)=0,ξ∈(-2,2).
解析
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考研数学二
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