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(2008年试题,17)已知曲线求曲线C上与xOy面的距离最远点和最近点.
(2008年试题,17)已知曲线求曲线C上与xOy面的距离最远点和最近点.
admin
2019-05-16
20
问题
(2008年试题,17)已知曲线
求曲线C上与xOy面的距离最远点和最近点.
选项
答案
曲线C到xOy面的距离就是|x|,由曲线C的方程可得到x
2
+y
2
=2z
2
,x+y=5—3x;2z
2
=x
2
+y
2
≥[*]即[*]解得1≤z≤5.当且仅当x=y时一k述不等式中等号成立,将x=y代入到曲线C的方程得到[*]故有|x|
max
=5,|z|
min
=1.最远点为(一5,一5,5),最近点为(1,1,1).解析二将曲线C的方程中的z消去可得[*]整理得7x
2
一4xy+7y
2
+20x+20y一50=0问题就转化成在上述条件下求|x|的最值或求z的最值[*]令F(x,y,κ)=z+λ(7x
2
一4xy+7y
2
+20x+20y一50)[*],分别对x,y,λ求偏导得[*]F
λ
=7x
2
=4xy+7y
2
+20x+20y一50=0联立上述等式解得[*]最远点为(一5,一5,5),最近点为(1,1,1).解析三设P(x,y,z)为曲线C上的任意一点,则点P到xOy平面的距离为|z|,问题转化为求z
2
在约束条件x
2
+y
2
一2x
2
=0与x+y+3z=5下的最值点.令拉格朗日函数为F(x,y,z,λ,μ)=x
2
+y
2
+λ(x
2
+y
2
一2z
2
)+μ(x+y+3z一5)[*]根据几何意义知,曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点,故所求点依次为(一5,一5,5)和(1,1,1).
解析
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