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  3. 设α1,α2……αn是n维向量组，证明α1,α2……αn线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．

设α1,α2……αn是n维向量组，证明α1,α2……αn线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．

admin2016-01-11  93
问题 设α1,α2……αn是n维向量组，证明α1,α2……αn线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．
选项
答案必要性：由于n维的向量组α1,α2……αn线性无关，则对于任意一个n维向量β，则α1,α2……αn，β必线性相关，从而存在不全为零的数k1，k2，…，kn，λ，使得k1α1+k2α2+…+knαn+λβ=0． 若λ=0，则k1α1+k2α2+…+knαn=0，由α1，α2，…，αn线性无关得k1=k2=…=kn=0，这与k1，k2，…，kn，λ不全为零矛盾，从而λ≠0，于是[*] 充分性：由于任意一个n维向量都可由α1,α2……αn线性表示，特别地取n维基本向量组e1，e2，…，en，则e1，e2，…，en能由α1,α2……αn线性表示． 即(e1,e2……en)=(α1,α2……αn)K，其中K是n×n矩阵．两边取行列式． ｜(α1,α2……αn)｜｜K｜=｜e1,e2……en｜=1≠0，从而｜α1,α2……αn｜≠0，从而α1,α2……αn，线性无关．
解析 本题考查向量组线性相关性的概念和线性表示的概念及向量组线性相关性的判定．要求考生掌握n个n维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的n阶行列式不为零．
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考研数学二

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