2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证： [∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证： [∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．

admin2017-05-31  33
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证：
[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．
选项
答案即证[∫01f(x)dx]2－∫01f3(x)dx＞0．考察F(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，若能证明F(x)＞0(x∈(0，1])即可．这可用单调性方法． 令F(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，易知F(x)在[0，1]可导，且 F(0)=0，F’(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)]． 由条件知，f(x)在[0，1]单调上升，f(x)＞f(0)=0(x∈(0，1])，从而F’(x)与g(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x)同号．再考察 g’(x)=2f(x)[1－f’(x)]＞0(x∈(0，1))， g(x)在[0，1]连续，于是g(x)在[0，1]单调上升，g(x)＞g(0)=0(x∈(0，1])，也就有F’(x)＞0(x∈(0，1])，即F(x)在[0，1]单调上升，F(x)＞F(0)=0(x∈(0，1])．因此 F(1)=[∫01f(x)dx]2－∫01f3(x)dx＞0． 即结论成立．
解析
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考研数学二

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