设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． (Ⅰ)求二次型xTAx的规范形． (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

admin2017-11-23 60

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=E，并且r(A+E)=k＜n．
(Ⅰ)求二次型x^TAx的规范形．
(Ⅱ)证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求｜B｜．

选项

答案①由于A²=E，A的特征值λ应满足λ²=1，即只能是1和一1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2(后重)和0(n—k重)，从而A的特征值是1(k重)和一1(n一k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n一k，x^TAx的规范形为 y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²一…一y_n²． ②B是实对称矩阵．由A²=E，有B=3E+2A，B的特征值为5(k重)和1(1一k重)都是正数．因此B是正定矩阵．｜B｜=5^k．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/myr4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． (Ⅰ)求二次型xTAx的规范形． (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

考研数学一

设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fx’(0，0)=a，fy’(0，0)=b，且φ(t)=f(t，t2)]，求φ’(0)．

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

设A为n阶非奇异矩阵，a是n维列向量，b为常数，计算PQ；

设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．

设y＝y(x)二阶可导，且y’≠0，x＝x(y)是y＝y(x)的反函数．(1)将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y’(0)＝的解：

设总体服从U[0，θ]，X1，X2，…，Xn为总体的样本．证明：为θ的一致估计．

已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x)

血清与血浆的重要不同点是前者不含()

固体分散体均可以促进药物溶出。()

()是指对工程造成特大经济损失或延误较长工期，经处理后仍对正常使用和工程使用寿命有较大影响的事故。

账务处理系统中，当月结账后可以输入()的凭证。

经济学家根据一个周期的长短将经济周期分为(　　)。

某省的生物中考满分为100分，某同学得了55分，最终成绩单上给出的成绩是“B”。这样的考试属于()。①纸笔测验②终结性评价③标准参照型考试④常模参照型考试

下列不属于科研对教师的影响的是()。

下列我国古代杰出医学家中，被后人誉为“脉学之宗”的是：

在下列枚举符号中，用来定位文件开始位置的方式是

Ifitweretwohourslater,itwouldbehalfaslonguntilmidnightasitwouldbeifitwereanhourlater.Whattimeisitnow

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． (Ⅰ)求二次型xTAx的规范形． (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

考研数学一

设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fx’(0，0)=a，fy’(0，0)=b，且φ(t)=f(t，t2)]，求φ’(0)．

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

设A为n阶非奇异矩阵，a是n维列向量，b为常数，计算PQ；

设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．

设y＝y(x)二阶可导，且y’≠0，x＝x(y)是y＝y(x)的反函数．(1)将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y’(0)＝的解：

设总体服从U[0，θ]，X1，X2，…，Xn为总体的样本．证明：为θ的一致估计．

已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x)

血清与血浆的重要不同点是前者不含()

固体分散体均可以促进药物溶出。()

()是指对工程造成特大经济损失或延误较长工期，经处理后仍对正常使用和工程使用寿命有较大影响的事故。

账务处理系统中，当月结账后可以输入()的凭证。

经济学家根据一个周期的长短将经济周期分为( )。

某省的生物中考满分为100分，某同学得了55分，最终成绩单上给出的成绩是“B”。这样的考试属于()。①纸笔测验②终结性评价③标准参照型考试④常模参照型考试

下列不属于科研对教师的影响的是()。

下列我国古代杰出医学家中，被后人誉为“脉学之宗”的是：

在下列枚举符号中，用来定位文件开始位置的方式是

Ifitweretwohourslater,itwouldbehalfaslonguntilmidnightasitwouldbeifitwereanhourlater.Whattimeisitnow

经济学家根据一个周期的长短将经济周期分为(　　)。