设f(x)为(一∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，则F(x)是

admin2020-03-24 67

问题设f(x)为(一∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，

则F(x)是

选项 A、单调增加的奇函数
B、单调增加的偶函数
C、单调减小的奇函数
D、单调减小的偶函数

答案C

解析对被积函数作变量替换u=x一t，就有
[*]
由于f(x)为奇函数，故[*]为偶函数，于是[*]为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而[*]为奇函数，所以F(x)为奇函数．又
[*]
由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得[*]从而F’(x)=x[f(ξ)一f(x)]，无论x＞0，还是x＜0，由f(x)单调增加，都有F’(x)＜0，从而应选C．
其实由[*]及f(x)单调增加也可得F’(x)＜0．

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