设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组Ax＝0和ATAx＝0必有( )．

admin2020-06-05 29

问题设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组Ax＝0和A^TAx＝0必有( )．

选项 A、A^TAx＝0的非零解是Ax＝0的解，Ax＝0的非零解也是A^TAx＝0的解
B、A^TAx＝0的非零解是Ax＝0的解，Ax＝0的非零解不是A^TAx＝0的解
C、Ax＝0的非零解不是A^TAx＝0的解，A^TAx＝0的非零解也不是Ax＝0的解
D、Ax＝0的非零解是A^TAx＝0的解，A^TAx＝0的非零解不是Ax＝0的解

答案A

解析设向量x₀是方程组Ax＝0的任意一个解，用A^T左乘该方程组的两边，得
A^TAx₀＝0
可见x₀也是方程组A^TAx＝0的解，即Ax＝0的解都是A^TAx＝0的解．
反之，设x₀是A^TAx＝0的任意一个解，即A^TAx₀＝0，上式两边左乘x₀^T，得
x₀^TA^TAx₀＝0，即(Ax₀)^TAx₀＝0或｜｜Ax₀｜｜²＝0

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考研数学一

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